华罗庚解决实际问题

　　华罗庚是我国著名数学大师，中国科学院院士，曾任中国科学院中国数学研究所所长。他出生贫寒，从小体弱多病，只上到初中毕业就辍学养家，但他凭借着自己对数学的执着追求和坚定不移的毅力品质，刻苦自学最终踏上清华大学讲坛，走上了研究数学的道路，并在诸多数学领域中取得卓越成就，被美国芝加哥科学技术博物馆列为当今世界88位数学伟人之一。
　　华罗庚的研究风格是:从具体入手再推广到一般的研究方法;尽量少用概念,善于用初等方法解决高等问题;强调对于数学思维能力的训练和提高；勇于批判质疑,对权威、定论不盲从轻信，另辟蹊径揭示真相.
　　1973年的一天,华罗庚应邀到河南洛阳市为工程技术人员讲课，课后,洛阳拖拉机厂的一位工人师傅登门请教.
　　图1和图2
　　原来，在工厂的机床上通常要用一对齿轮来指定两根旋轮轴的转速比(i)。比如，若用一对齿轮使主动轴与被动轴的转速比为3,即主动轴的转速是被动轴的3倍，那么不难判断,装在主动轴上的齿轮(主动轮)齿数，应是装在被动轴上的齿轮(被动轮)的齿数的三分之一.比如:主动轮20齿,被动轮60齿;或者是主动轮25齿，被动轮75齿……假设z₁为主动轮的齿数，z₂为被动轮的齿数(图1),则转速比公式为:
　　这是两个齿轮配对的情形.除此之外,工厂里还经常采用四个齿轮配组(如图2),齿数为z₁的齿轮与齿数为z₂的齿轮配对,齿数为z₃的齿轮与齿数为z₄的齿轮配对,而齿数为z₂、z₃的两个齿轮装在同一根轴上。对于这种齿轮组,转速比公式为:
　　这位工人师傅向华教授咨询的是:如果指定的转速比是π,那么,应该用怎样的四个齿轮配组呢?通俗地解释就是,若
　　则z₁,z₂,z₃,z₄分别是多少最为合适。这实际上就是将π近似地表示为一个分数，然后,将分子、分母分别分解为两因数之积,这四个因数就是四个齿轮的齿数.
　　这位师傅当然明白这个道理，他特意带来机械手册，从中翻到建议齿数，即
　　也就是齿轮组的齿数分别是20、57、24和29,手册说明这种齿轮配比形成的误差为千分之一.师傅认为这个误差过大，所以自己琢磨找到另外一组，即
　　也就是齿轮组的齿数分别是22、68、61和62,这样使误差降低到一百万分之四。现在,他的问题是:还有既符合要求而且误差更低的齿轮组吗?
　　看起来，这不是一个简单的问题，华罗庚答应考虑周全再给回复.因为事务繁忙,他不得不在当天中午离开洛阳,只在火车站等车时稍稍思考了一下.他刚在纸条中写下算式
　　火车已经进站，他把纸条交给留在洛阳的助手,叮嘱了几句匆匆上车。
　　助手回到洛阳住处，开始根据华老的提示思路细心琢磨，很快就有了新的发现。原来，这张纸条上写的是非常特别的一组数。
　　其中，①是古希腊著名数学大师阿基米德首先使用的＂疏率＂，②是我国南北朝著名数学家祖冲之首先使用的＂密率＂,而③
　　又是古希腊著名数学家托勒密首先使用过的π近似值。华罗庚的算式实际上说明，③是①和②的加成分数。所谓加成分数是指把两个不等分数的分子、分母分别相加得到的新分数，容易证明,加成分数的值总是夹在这这两个不等分数之间。那么，加成分数的信息对于工人师傅的问题有何帮助呢?
　　俗话说得好，＂强将手下无弱兵＂,华教授的助手很快就领会了导师的意图.经过一番计算证实,他找到了工人师傅希望的结果.首先他求①和②的加成分数，得到③，
　　然后再求它与②的加成分数，得到
　　然后再求它与②的加成分数……连求 11次，即
　　即齿轮组的齿数如果分别是50、51、25和77的话,误差只有一百万分之二。巧的是,这个分数正好是我国魏晋期著名数学家刘徽用割圆术所得的π值.
　　1980年,华罗庚在第四届国际数学教育会议上做学术报告时,特意提到这个事情,一时传为美谈.
　　文章来源：中小学数学 2022年1-2月中旬(初中)page 120 121
　　作者：扬州市职业大学(225012) 林革