高中数学解题中化归思想的应用

　　摘 要：化规思想是数学解题的基础思想，高中生的思维能力已渐趋成熟，在高中数学的学习中培养学生化归思想是很重要的。本文首先介绍化归思想的含义，接着介绍了化归思想的常用的几个策略，最后对化归思想在教学中的应用做了简单阐述。
　　关键词：高中数学；解题；化归思想
　　中国分类号：G427 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2011）05-038-02
　　只要是学过数学的人，都有这样一种经验，再难的数学题目，只要我们将它转化为我们熟悉的类型，就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决，也常将一个复杂的问题转化为一个或几个简单的问题来解决，这就是数学上解决问题的一般思想方法――化归。
　　一、化归思想概述
　　＂化归＂是转化和归结的简称，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得原问题A的解答。
　　数学中的转化比比皆是，如复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是化归思想的体现。因此，化归思想是解决数学问题的基本思想。
　　二、化归的策略
　　1.分解与组合策略
　　数学问题通过分解，才能清晰地了解待解决问题的各种制约关系，找出解决问题的方法。在许多情况下，为实现化归过程，不仅要分解，而且还要有组合，要在＂分解＂与＂组合＂的有机结合下去实现化归。
　　首先，变更局部方法。常用于可变因素较多问题的化归过程。
　　例1：已知正数a，b，c，d，满足a2+b2=c2，a2=ca2－d2，求证：ab=cd。
　　分析：问题涉及了四个变量，已知只有两个等式关系，不能将每个变量确定下来，所以需要固定其中的一个或几个变量来证明。
　　解：由已知，令a=c cosθ，b=c sinθ，θ （0，π2），
　　则有，c2 cos2θ=c c2 cos2θ－d2d=c cosθ sinθ
　　故，ab=cd。
　　其次，补集法。这种方法是指通过把待解决问题与某一＂整体＂联系起来，对于这个整体，有一个与原问题相联系，又较容易解决的问题。
　　例2：由1，2，3，4，5，6，7七个数字全排列所组成的数中，2，4，6这三个数字不全连在一起的七位数有多少？
　　把这七个数字的全排列组成的集合当作全集U，把其中2，4，6三个数字全连在一起的排列组成的集合设为A，则
　　瘙  UA的元素个数即为所求。也即有：
　　S(U)=A77=7矗 S(A)=A55 A33=6！
　　S(
　　瘙  A)=A77－A55 A33=4320
　　2.特殊和一般策略
　　首先，特殊化策略。当在解决一个繁难问题一时无法下手时，可先考虑一个特殊情况，由解决特殊问题入手来达到解决一般问题。
　　例3：求（2x－1）3（3x2－x+1）4的各项系数之和。
　　分析：此题展开的计算是比较麻烦的，把求多项式各项系数之和，化归为求多项式当x=1时的值，问题就变得非常容易解。
　　解：记f(x)=(2x－1)3(3x2－x+1)4得各项系数之和为N，则
　　N=f(1)=(2－1)3(3－1+1)4=81。
　　其次，一般化策略。把具体事物进行抽象，再在抽象的水平上进行推理，然后再解决具体问题，这种方法就是使问题一般化。
　　例4：求证：50009999 9999！。
　　分析：注意到9999+12=5000，根据一般化策略，先证（n+12) n！（n=2k+1，k N），事实上，由
　　1+2+…nn n12n=nn!
　　即：1n n(n+1)2 nn!
　　取n=9999，命题即证。
　　3.映射策略
　　通过寻找恰当的映射实现化归。常用的两种映射是欧式平面到有序实数对集合上的映射。欧式平面S到有序实数对集合上的映射φ，将平面S上的点P映为有序实数对
　　（a，b），即S堞{(a,b) a,b R}。常见对象之间的关系有：
　　点P苁对(a,b)；
　　直线L芊匠Ax+By+C=0（A2+B2 0）；
　　圆芊匠x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F 0）。
　　这样，研究点P是否满足几何关系R(点是否在曲线上)，转化为研究数对P=（a,b）是否满足代数关系R常(a,b)）是否是曲线对应方程的解，求两曲线交点问题转化为解联立方程组问题。这种将平面几何问题转化为解析几何问题的化归方法就是通常所谓的解析法。
　　另一种映射是直角坐标系平面到复数集上的映射。直角坐标平面到复数集上的映射
　　φ：（x,y）堞x+yi，将坐标平面变成复平面，几何问题化归为复数问题，同样复数问题也可以化归为几何问题。其常用的基本对象映射关系为：
　　点Z(x,y)z=x+yi；
　　过点Z1、Z2的直线z－z1=λ(z2－z1)；
　　以点Z0为圆心，r为半径的圆|z－z0|=r。
　　通过上述映射实现化归的方法就是复数法。它把几何问题映射为复数问题，利用复数的知识解决这个复数问题，再翻译回去，原问题即获解。
　　三、如何培养高中生化归思想
　　高中生的生理和心理均趋于成熟和稳定。这首先表现在其智力的发展水平上，高中生的智力发展已接近成熟，一方面表现在其观察力、记忆能力、想象能力等的发展和完善上，另一方面体现在其思维能力的提高上。
　　在培养高中生化归思想方面，数学教师应首先向学生介绍化归的思想方法并举例说明。通过详细分析精心设计的例题的解题思路，指导学生理解化归的策略。例如
　　求和：1 2+2 3+3 4+…+n (n+1)。
　　分析：这是一个数列求和问题，但不能套用等差数列和等比数列的求和公式。可以通过分解通项公式转化为常规的数列求和。n (n+1)=n2+1，原式的求和就转化为自然数列和自然数平方的数列求和。
　　说明：上例是将比较复杂的问题化归为简单的问题，化归为基础知识。运用了分解与组合策略，可以以初中的知识向学生阐述这个策略，如三角形、平行四边形、梯形的面积公式的推导、因式分解等。
　　同时，还可以请学生回忆已学过的知识，看是否能举出蕴涵化归思想的例子。这样做是让学生与老师合作，提高学生对化归思想的认识。
　　其次，教师在教的过程中，要讲解清楚概念、定理、推论的来龙去脉，题解的思路探求过程，将培养化归思想放在首位，充分挖掘教材、问题中的化归思想。无论是讲授新课，还是练习课、复习课、讲评课等，都要注意化归思想的渗透。例如在＂不等式＂中＂求最值＂这一知识点，引导学生分析重要不等式的结构特征:和与积的不等关系，它们的本质是和、积之间可以互相转化，因此可以用来求最值，这就是化归思想在求最值中的应用。这样引导学生一步步注意，才能让化归思想深入学生的思维中。
　　参考文献
　　［1］徐思亮.高中数学解题常用的几种策略［J］. 数理化解题研究，2009（7）.
　　［2］王锡宁.高中数学解题中的转化思想［J］. 上海中学数学，2005（11）.
　　［3］薛亚如.浅谈＂转化思想＂在高中数学解题中的应用［J］. 考试教研，2009（8）.