基于量词语义与性质的扩展三段论

　　直言三段论推理是人们日常思维中运用最多的推理类型之一，是高校普遍开设的逻辑通识教育课程和政法院校开设的法律逻辑课程中必不可少的重要教学内容。但是，直言三段论的一些传统方法如规则法是繁琐、甚至错误的，这不利于直言三段论在逻辑通识教育中发挥应有的作用。在广义量词理论中，传统直言命题被处理为以主项和谓项为主的二元量词函项(简称二元量词)：(1)全称命题，即全称量词函项all、all 即no，分别读作所有X是Y和所有X不是Y(2)特称命题，即特称量词函项 all 即some、 all,分别读作有X是Y和有X不是Y。基于全称量词和存在量词的语义和周延性等逻辑性质，可以简洁明了地进行传统的直言三段论推理。显然，传统直言三段论是关于量词all及其否定的逻辑，无法处理除all及其否定之外大量存在的关于其他量词的推理。如涉及绝对数量的量词(at most n,all but at most n，etc.)、涉及相对数量的量词(more thann%，most,at most half of，etc.)的推理，传统逻辑就难以判定其有效性。而广义量词理论则对量词进行了充分的推广，使得传统三段论之外大量推理的有效性问题得以解决，从而极大地提高了逻辑的表达能力和对日常思维的规范能力。
　　一、量词的定义
　　一般说来，表达两个词项外延关系的命题具有以下共同结构：QM。M是论域，一般省略。这里的Q是表示两个词项外延关系的二元词项联结词，或者二元量词。X和Y是词项或者集合，分别称为Q所限制的左论元和处在Q辖域中的右论元。
　　二、量词的性质
　　量词即词项联结词具有对称性、单调性等性质，它们是关于词项外延关系的推理根据。
　　(一)对称性
　　Q是对称的，当且仅当，对任意论域M，任意词项X和Y，都有QQ。
　　(二)单调性
　　1.单调性的定义
　　对形如Q的命题来说，我们约定，Q 表示Q左向上单调，即Q的左论元向上单调。Q表示Q右向上单调，即Q的右论元向上单调。Q 表示Q左向下单调，即Q的左论元向下单调。Q表示Q右向下单调，即Q的右论元向下单调。
　　2.单调方阵
　　一组二元量词{Q，Q ， Q 即Qd， Q即Qd }在周延方向性上的逻辑制约关系构成单调方阵：如果其中的一个量词如Q的单调性确定下来，那么Q 、Qd、Qd 的单调性通过否定的方式也就确定了下来。
　　在单调方阵中，{Q，Q ，Qd，Qd }在单调性上的相互之间制约关系总结为：外否左右相反，内否左同右反，对偶左反右同。这种在单调性上的相互之间制约关系由以下定理刻画。
　　三、单调性的判定
　　在自然语言中，基本的二元量词有关于绝对数量的量词和关于相对数量的量词两类，它们的语义和单调性等性质有所区别。基于简单的有关集合论知识、单调性定义以及单调方阵等逻辑工具和方法，可以确定这两类量词的语义和在单调性等方面的不同性质,然后据以进行推理。
　　(一)绝对量词
　　涉及绝对数量的量词简称绝对量词，它的一个典型形式是：若令Q=at most 则： Q= at least; Q =all but at least;Q = all but at most。这一组量词是绝对量词的典型形式。
　　在绝对量词的典型形式中，若n=0，则all but at most n就是all;at most n就是no，即all ;at least n(假设不含n，下同)就是at least 0，就是具有存在含义的量词： all ，即alld，也即some;同理，由all but atleast 0得到 all，即alld 。
　　另外，很容易确定all和 all 都具有对称性。其实，从本质上说传统三段论就奠基在all、no即all 、some即 all 、not all语义和性质之上的。也就是，基于A、E、I、O语义和性质，可以简便地进行三段论推理，从而无需诉诸于传统三段论规则等传统方法，就能够圆满简明地解决传统三段论24个有效式何以有效、结论如何得出等问题。
　　总之，传统三段论24有效式中，包括本来应该得到全称结论却得到特称结论的6个弱式，都能够基于直言命题的对称性、单调性等性质和直言命题的语义给予证明，使得传统三段论称为完整严密的推理体系。当然，在广义量词视野中，传统三段论体系只是一个特例。
　　总之，在自然语言中，如果一个语句表达集合或者词项之间二元关系、具有量化结构Q，那么据其语义和周延方向性等性质就可以简洁明了地进行传统的直言三段论推理和扩展的直言三段论推理。换句话说，三段论推理与量化结构Q的语义和单调性等性质具有对应关系。显然，能够据以进行三段论推理、具有量化结构Q的语句只有一个量词, 而且这个量词位于句子的最前端且其辖域是整个句子。这类语句直接对应或者类似于普通逻辑中的直言命题或者性质命题。然而，在自然语言还有两类语句，它们分别具有与复合叠置量词有关的量化结构和一些表示聚合语义的特定量化结构。前者如所有的选民都拥护每一个候选人，后者如所有的士兵组成一排人墙。基于这两类语句量化结构及其语义和性质进行的推理就比较复杂。