重要突破，数学家发现了隐藏在奇怪空间中的斐波那契数列

　　这是一个＂无限阶梯＂，其中的每个台阶的高度由斐波那契数列中的数字比率给出。
　　14年前，数学家杜莎·麦克达夫（Dusa McDuff）和菲利克斯·施伦克（Felix Schlenk）偶然发现了一个隐藏的＂几何花园＂，现在才开始开花。这对搭档对某种形状很感兴趣，这种形状可以以非常特殊的方式挤压和折叠，然后塞进一个球里。他们想知道：对于某种形状，球需要多大？
　　他们的同事发现了一种惊人的模式，并在这种模式中发现了的斐波那契数列。斐波那契数列在自然界和数学中一次又一次地出现。例如，它们与黄金比例密切相关；自古希腊以来，人们就在艺术、建筑和自然领域研究黄金比例。
　　他们里程碑式的研究结果发表在2012年的《数学年鉴》上（数学领域的顶级期刊）。它揭示了具有无限多个台阶的阶梯状结构的存在。在这些＂无限阶梯＂中，每个台阶的大小是斐波那契数列的比率。
　　随着楼梯的上升，台阶变得越来越小，楼梯顶部与黄金比例相同。无论是黄金比例还是斐波那契数，都与在球内部拟合形状的问题没有任何明显的关系。在 麦克达夫和 施伦克的研究中发现这些数字是很奇怪的。
　　今年早些时候，麦克达夫发现了这一谜团的另一条线索。她和其他几个人不仅展示了无限多的楼梯，而且还展示了复杂的分形结构。这项工作揭示了数学中看似无关的领域中隐藏的模式，这表明一些重要的事情正在被揭晓。
　　运动的形状
　　这些问题不会发生在欧几里德几何空间中，欧式空间中物体的形状不会改变。相反，它们是根据辛几何的奇怪规则运作的，在辛几何中，形状代表物理系统。例如，考虑一个简单的钟摆。在任何给定的时刻，钟摆的物理状态由它的位置和运动速度决定。如果画出这两个值的所有可能性——钟摆的位置和速度——你会得到一个辛形状，看起来像一个无限长的圆柱体的表面。
　　辛几何（symplectic geometry）是数学中微分几何领域的分支领域，是研究辛流形的几何与拓扑性质的学科。它的起源和物理学中的经典力学关系密切，也与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。 不同于微分几何中的另一大分支——黎曼几何，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性。
　　你可以修改辛形，但只能以非常特殊的方式。最终结果必须反映相同的系统。唯一能改变的是你衡量它的方式。这些规则确保你不会搞乱基础物理。
　　无限的楼梯
　　几何中的一个＂嵌入＂问题导致了斐波那契数列的产生，斐波那契数列是一种数列，通过将前两个数字相加产生下一个数字。
　　取一个辛椭球phi，具有一定的偏心率a，它能装入多大的球（半径为c）？
　　a和c之间的关系显示了一个阶梯状的图，其中台阶高度与斐波那契数列相关。
　　按如下规律取斐波那契数列中的比值c，
　　这些比值就是楼梯的高度，趋近于黄金比例的幂，
　　麦克达夫和 施伦克一直试图弄清楚他们什么时候能把辛椭球放进一个球里。这种类型的问题，被称为嵌入问题，在欧氏几何中非常简单，在欧氏几何中，形状不会弯曲。
　　辛几何则更加复杂。在辛几何中，答案取决于椭球体的＂偏心率＂，一个代表它的拉长程度的数字。高偏心率的细长形状可以很容易地折叠成更紧凑的形状，就像蛇盘绕起来一样。当离心率较小时，事情就不那么简单了。
　　麦克达夫和 施伦克在2012年的论文中计算了能够容纳各种椭球的最小球的半径。他们的解决方案类似于基于斐波那契数列的无限阶梯。数学家们想知道： 如果试着把你的椭球体嵌入除球以外的物体中，比如四维立方体，会怎么样？会出现更多无限的楼梯吗？
　　分形
　　霍尔姆和她的合作者安娜·丽塔·皮雷组成了一个工作组，他们开始将椭球体嵌入一种有无限多种化身的形状中——最终允许他们制造无限多的楼梯。
　　杜莎·麦克达夫
　　注意，辛形状代表一个运动物体的系统。一个物体的物理状态使用两个量（位置和速度）表示，因此辛形状总是用偶数个变量来描述。换句话说，它们是偶数维的。由于二维形状只表示一个物体沿着固定的路径移动，四维或更多维的形状更能引起数学家的注意。
　　但是四维的形状是无法可视化的，这严重限制了数学家的研究。但研究人员可以绘制至少能捕捉到一些形状信息的二维图像。根据创作这些2D图片的规则，一个四维的球变成了一个直角三角形。
　　霍尔姆和皮雷团队分析的形状被称为Hirzebruch曲面。每个Hirzebruch曲面都是通过切掉这个直角三角形的上角得到的。一个数字，b，表示你切掉了多少。当b = 0时，表示没有切；当它等于1时，表示几乎切掉了整个三角形。
　　在2020年10月，他们发表了一篇论文，为b的特定值挖掘了无限个楼梯。
　　要创建康托集，从线段开始。去掉中间的三分之一，然后去掉剩下的每个片段的中间的三分之一。重复无数次，直到最后只剩下一组单独的点。
　　今年3月，麦克达夫 和维勒几乎完成了分析椭球体嵌入Hirzebruch曲面的项目。霍尔姆说
　　这太神奇了！
　　他们还惊奇地发现了另一个东西。如果你观察所有出现无限阶梯的b值，你会得到一种分形结构——一种具有违背常识特征的点的排列。它被称为康托集，比有理数有更多的点——但不知何故，康托集的点更分散。
　　尽管新的研究比以往的任何结果都产生了更多的无限阶梯，辛嵌入及其伴随的阶梯仍然是一个谜，因为Hirzebruch曲面只包含了可能的辛形状的一小部分。