诺奖解读量子纠缠与贝尔不等式

　　转载 中国科学物理辑 中国科学杂志社
　　背景介绍
　　今年，三位物理学家Alain Aspect （阿斯佩），John F. Clauser（克劳瑟），Anton Zeilinger（塞林格）因＂纠缠光子，贝尔不等式的违反和开创性量子信息科学实验研究＂而获得诺贝尔物理学奖，这无疑将推动新的量子科技发展热潮。正如诺贝尔物理奖委员会主席A. Irback (伊尔巴克)所指出的：＂越来越明显，新的量子技术已经出现，我们可以看到，获奖人关于纠缠态的工作非常重要，甚至超越了量子力学诠释这样的基本问题＂，所以可以认为，获奖工作的意义，更重要的是体现在其对量子信息科学的开创性和奠基性作用。事实上，量子计算和量子信息处理的基本机制和运行原理，是直接以今年诺奖工作为基础的。
　　近些年来，量子科技可谓是世界科技竞争的制高点之一，各国纷纷就量子计算、量子精密测量、量子通讯等技术路线投入大量资源。而另一方面，量子力学也越来越走入大众的视野，笔者在网络上经常能发现一些人将诸如＂量子纠缠＂＂薛定谔的猫＂等量子力学概念用于吐槽与玩梗。那么量子纠缠的内涵究竟是什么呢？基于其的贝尔不等式实验又为什么能斩获物理学终极大奖？本文将对这些问题做出详细解读。相信大家在了解其中来龙去脉后，会觉得比单纯玩梗有趣多了。
　　量子纠缠与EPR佯谬
　　这一切都要从神秘的量子纠缠说起。1935年，薛定谔发现在量子力学的框架下会出现这样一种量子态，即两个粒子的波函数不能被写成其中单个粒子波函数的直积形式，也就是两个粒子的波函数不可分，我们只能用这种整体的波函数来描述粒子状态。就这个性质来看似乎也没啥特别的，但如果考虑量子力学关于测量的表述和空间定域性，就会产生连爱因斯坦都不能接受的EPR佯谬。考虑我们可以制备一个特殊的纠缠态，其中每个粒子可以被测量到＂+＂ ＂-＂两种状态，根据测量的波函数塌缩理论，当我们测量第一个粒子为＂+＂时，第二个粒子的测量结果一定为＂-＂，反之亦然。但是注意到，量子力学中波函数的塌缩是瞬时的，即使我们把两个粒子分离到很远时，一个粒子的测量结果也会马上影响到另一个，这样就好像存在超越光速的超距作用。这个结果对于大多数人甚至是爱因斯坦都是荒谬的，因此称为＂佯谬＂。爱因斯坦认为世界是定域且实在的，其中定域说的是不能有超过光速的影响产生，而实在性则描述一个物理元素的客观存在，我们所做的测量均是出自于这种物理实在而不能影响它。简单地说，实在性是说一个物理量，不管我们测量还是不测量，其大小是确定的，并不因为我们是否测量而改变，但量子力学并不满足这个性质，因为对量子态的测量，单次测量结果是随机的，多次测量的统计平均才能反映其振幅信息。基于这些问题，爱因斯坦等人认为量子力学导致这种结果是因为其理论是不完备的。
　　图1 EPR纠缠粒子对
　　这种不完备性表现为后续1952年波姆提出的隐变量理论，该理论中量子力学仍是定域且实在的，EPR佯谬的出现是我们对隐变量的无知所造成的。为了理解隐变量，举个日常生活中我们就可以感受的例子。比如甲有一双鞋，他会发给相隔很远的两个人乙和丙，而且告诉他们只有一双鞋，但谁是左脚谁是右脚不确定。那么，当乙打开包裹的一瞬间他就可以确定丙的鞋是左脚还是右脚，这似乎和量子纠缠很像。但仔细想下，显然这不是什么超距作用，只是因为我们知道了一个隐含条件：只有一双鞋，正是这个隐含条件造成了结果的关联性。波姆的理论中量子力学就像这样，世界仍然是定域实在的，只不过＂只有一双鞋＂这样的条件我们不知道，也许EPR中两个粒子分离时的状态已经确定相反了，而不是测量时由于超距作用才决定。到这里问题就变成了: 如何知道量子力学是不是由隐变量描述的呢？这就是贝尔不等式所解决的问题。
　　贝尔不等式
　　贝尔不等式的意义在于将检验世界是否是定域实在性的这个问题转化成了一个数学公式，我们可以通过实验来验证世界是否满足这个公式。解决问题的关键在于，定域隐变量理论产生的关联是有极限的。如果超过了这个极限，说明世界不是由定域隐变量描述，超距作用存在，量子力学是完备的。第一个贝尔不等式由贝尔在1964年提出，后来基于此发展了很多相似的不等式，诺贝尔奖颁发给的是主要验证了违反CHSH（Clauser, Horne, Shimony, and Holt ）不等式的工作。
　　CHSH不等式——考虑 Alice和Bob相隔了一定距离，且分别有一个粒子，这两个粒子处于的状态可能是由量子力学描述的，也可能由隐变量理论描述。假设Alice可以有两种方式测量该粒子，我们标记为 x , 其值可以为 x 0或 x 1。同样Bob也有两种测量方式 y ，标记为 y 0或 y 1。且假设测量的结果均只有两种情况-1或+1，用 a 代表Alice的测量结果， b 代表Bob的结果。经过多次测量后我们会发现两个事实：（1）测量基固定时结果可以呈现一定的概率分布，例如Alice测量 x 0，Bob测量 y 0时 a 和 b 总是相反，当Alice测量 x 1，Bob测量 y 0时则没有这种关联且 b 的结果总是一半+1, 一半-1。总之一般情况下我们可以定义某种概率分布，这里用 p ( ab | xy )代表两个人测量方式为 x ,  y 时结果的概率分布。（2）无论Alice，Bob距离多远，两人测量结果总是表现出关联性，即
　　在上节我们提到过若测量过程依赖于某种隐变量，则结果会表现出关联。现考虑我们这里除了变量 x ,  y 还存在一个变量 λ 。由于某些物理原因我们观测不到它，且每次测量 λ 的值可以变化，设其同样满足一个概率分布 q ( λ )。这时Alice和Bob的测量的概率分布实际由两个变量决定，分别为 p ( a | x ,  λ ),  p ( b | y , λ )。那么联合概率应该长什么样子呢？如果我们引入定域条件，Alice和Bob的结果互不影响，则联合概率一定为乘积形式。
　　注意在这种假设下由于对隐变量 λ 的无知，我们的观测结果实际是对 λ 平均之后的结果，因此观测的结果是可以出现关联的，即
　　公式（2）是在定域隐变量理论下得到的联合概率分布，可以看到Alice (Bob)的测量结果只依赖于局域变量 x ( y )和隐变量 λ 。而量子力学不是定域实在的，这时Alice的测量结果可以以某种方式影响Bob, 因此量子力学的联合概率有可能超出公式（2）的表达范围。下面我们就来找在定域隐变量理论下这个表达能力的界限在哪，也就是贝尔不等式。
　　考虑某些测量方式在联合概率下的平均值的关系。定义关联函数
　　定义可观测量
　　。由于公式(2)的存在,公式(4)可以写成局域平均值的乘积再对隐变量求和，
　　。局域平均值
　　在区间[-1,1]中, 对
　　也一样。这时有
　　至此我们就得到了著名的CHSH型贝尔不等式
　　它是原始贝尔不等式的一个变型。即在定域隐变量假设得到的概率分布下，关联函数 S 的值一定满足这个不等式。如果说实际测量结果违反了这个不等式，说明实际世界是不能用定域隐变量理论描述的。那么量子力学是否违反这个不等式呢？确实是的，比如我们将Alice和Bob的粒子对制备为自旋单态(singlet)这样的量子态
　　。其中,
　　为Pauli算符
　　的本征矢量。对任意一个粒子，在实验中我们可以测量其量子化方向
　　的本征值，设Alice测量方向为
　　, Bob的测量方向为
　　。则由量子力学计算可得其关联函数的值为
　　。现在我们用这些结果来检验CHSH不等式，设Alice的两个测量方向为两个正交的方向
　　。Bob 的两个测量方向也是正交的，但与Alice存在一个夹角。若Bob将这两个方向选为
　　，利用简单的矢量乘法可以给出CHSH中关联函数的值
　　, 得到
　　。因此量子力学会违背贝尔不等式。
　　实验验证
　　贝尔不等式虽然是这样简单的一个数学公式，但对其进行实验验证是非常具有挑战性的。首先，它要求实验上应该能制备较高精度的纠缠态，并且要将其分离一定距离。因为贝尔不等式是对定域性的检验，实验者需要保证对两个粒子的测量可以排除光速以下的信息传递。其次是需要实现对粒子在不同方向的测量，因为只有在某些测量方向，量子力学才能违背贝尔不等式。此外探测器的粒子检测效率也会对贝尔不等式的验证造成影响。因而历史上对贝尔不等式的验证也是在不断填补漏洞中进行 [1,3]。
　　1972年， John F. Clauser和Stuart Freedman一起完成了第一次Bell实验。他们使用钙原子级联跃迁产生纠缠光子对进行实验。但由于光子对产生效率极低，测量时间长达200小时，而两个光子之间的距离又较短，因此存在定域性＂漏洞＂。另外测量基固定也是受到诟病的原因之一。
　　图2 John F. Clauser和Stuart Freedman的实验示意图
　　1981年和1982年，Alain Aspect及其合作者进行了一系列实验，提高了测量精度，减小了贝尔不等式验证的漏洞。在第一个实验中，他们使用双激光系统激发钙原子，产生纠缠光子对，改善了纠缠光子源。在第二个实验中，使用双通道方法，提高光子利用率。测量精度大大提高。第三个实验最为重要。关闭了定域性＂漏洞＂。两个纠缠光子相隔约12米远，信号以光速在它们之间传播，要花40纳秒的时间。光子到每个偏振片的距离为6米。偏振片旋转的时间不超过20纳秒。而利用声光器件甚至可以在更短的时间尺度上，将光子切换到两组测量基上。测量时间远小于信号以光速在两光子之间传递的时间，从而关闭了定域性漏洞。
　　1998年，Anton Zeilinger团队在严格的定域性条件下测试了Bell不等式，观测者之间距离达到400米，彻底关闭了定域性＂漏洞＂，直到这时，我们才能挺起胸膛说到，量子力学 ＂基本＂是对的了。后续，也有很多关于贝尔不等式验证的实验进行，他们都是为了从各个方面来弥补验证量子力学的漏洞，让我们越来越自信地用量子力学来描述世界。其中一个比较有趣的实验是2016年的大贝尔实验（the Big Bell Test），该实验的目的是为了消除伪随机性对贝尔不等式验证的影响。我们知道，无论做计算还是实验，随机数都是由计算机生成的，而计算机的随机数是伪随机数，它原则上可以由某种方法计算出来，只要我们给一个确定的种子，那么接下来一系列的随机数都是确定的。这会导致用这种方法测出的实验结果的关联性有超出贝尔不等式所代表的极限的可能。
　　那么如何得到＂真＂随机数呢？大贝尔的出发点是利用自由意志产生实验产生的随机数，如果你相信一个人的意志是自由的、随机的话。好的不相信，我也不相信，毕竟可能实验人员有强迫症之类的。那很多个人的自由意志总是随机吧，研究人员召集了世界各地超过10万名志愿者，让他们在过关游戏中快速随机地按下0或者1，然后把这些选择结果上传到云端，随机发给各地的实验者作为其实验的随机数生成器。通过大量参与者的自由意志，大贝尔实验在更广泛的范围内关闭自由选择漏洞，强烈否定了定域隐变量理论。至此，量子力学几乎被完美地证明了其完备性。
　　这些实验都是以量子力学有可能不正确为出发点的，如果我们承认量子力学是正确的，是否能方便地体验贝尔不等式的违反呢？我们可以考虑利用量子计算云平台[4]，首先利用逻辑门操作制备量子纠缠态，然后对两个量子比特进行不同基下的测量，对测量结果进行统计平均，我们可以很容易地发现贝尔不等式可以被违反，不过这里我们就不考虑随机和信息传递等问题了。
　　第二次量子革命
　　量子力学已被验证是对的，在这里其中的非定域性带来的问题需要解释下。比如量子纠缠能否超光速传递信息？答案是否定的，尽管看上去超距作用超越光速，但实际并没有传递信息。以EPR粒子对为例，第一，由于测量的塌缩是随机的，Alice 和 Bob任何一方都无法将信息编码到EPR中并通过测量解码（不通过经典手段的帮助）。第二，由于两者间没有经典通讯，无论Bob测量不测量，也就是无论Alice的粒子是否由于超距作用塌缩，她测得结果的概率分布都不会改变，因此Bob的测量操作不会对Alice传递任何信息。在量子力学中，这表现为描述Alice粒子的密度矩阵并没有改变。那么量子纠缠是否有用呢？当然，贝尔不等式的违反显示，纠缠是一种超越经典的资源，它预示着即使我们用无限的经典资源也无法模拟量子纠缠所得到的结果。我们现在只是发掘了其中一点点并用在解决某些特定问题上。
　　对种种这些问题的讨论促生了以量子信息处理与应用为主要目标的第二次量子革命。历史上第一次量子力学革命即量子力学刚创立不久，各种基于量子原理的经典应用被研发，如激光、半导体、核能等，这大大造福了人类，给予了世界翻天覆地的变化，使人类迅速迈进了信息时代。而第二次量子力学革命则是直接开发量子特性本身的应用，量子信息以量子比特为单元，信息的产生、传输、处理、探测等全部要遵从量子力学规律，是真正的量子器件。21世纪以来，量子计算理论的发展，量子通信的应用更是让我们看到了量子技术改变世界的潜力。发展量子技术一方面是利用量子力学原理进行量子信息的处理、传递和计算，另一方面也加深了人们对量子力学的理解。