丘成桐人类生活在十维宇宙里

　　明敏 鱼羊 发自 凹非寺
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　　＂人类生活在 十维 的宇宙中。＂
　　这可不是什么《三体》看上头后的狂言，而是出自 丘成桐 之口。
　　这位数学最高奖——菲尔兹奖首位华人得主，曾在公开演讲中谈到：
　　人类生活在十维的宇宙中，但只有四维时空可见，剩下的六维空间蜷缩在一个几何结构特异的空间中。
　　没想到，这个看上去玄乎又难以理解的概念，会被世界级数学家肯定。
　　但实际上， 弦论 的支持者们始终认为平行宇宙必定具有十个维度，并一直力求证明其存在。
　　对，就是Sheldon痴迷的那个弦论。
　　而更让人意想不到的是，正是丘成桐27岁时的成名之作，成为了弦论学者笃信十维空间的关键论据之一。
　　1985年，物理学家坎德拉斯、霍洛维茨等人合著论文《超弦的真空结构》指出， 多出来的六个维度，必须隐藏于卡拉比-丘流形之中 。隐藏六维的空间
　　事情还要从爱因斯坦的广义相对论说起。
　　基于黎曼几何这种包含弯曲空间的几何学，爱因斯坦成功把重力理论和狭义相对论统一了起来，完成了著名的广义相对论。
　　也就是说，广义相对论这颗明星，正是几何学和物理学的一个闪亮交点。
　　爱因斯坦本人就这样解释道：
　　这套理论指出重力场由物质的分布决定，并随之而演化，正如黎曼所猜测的那样，空间并不是绝对的，它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。
　　这颗明星，自然而然吸引了专注于几何学的青年丘成桐的注意。
　　上世纪70年代，在研究爱因斯坦方程组时，丘成桐开始思考一个问题：
　　能否找到一个真空，即没有物质的时空，但其曲率并不平凡，即其重力非零。
　　并且这个时空光滑不带奇点，是紧致而封闭的。
　　△丘成桐，图源：CCTV
　　其实，这就是几何学家卡拉比在1954年提出的 卡拉比猜想 ：在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场？
　　卡拉比猜想不仅指出封闭而具有重力的真空存在，而且还给出了系统地大量构造这类空间的途径。
　　但在这一猜想提出的22年间，包括卡拉比自己在内，没有人能够证明它是否正确。
　　直到1976年，时年27岁的丘成桐一举实现突破，证明卡拉比猜想成立，自此名动世界。
　　这一成果让他在1982年成为数学界最高奖菲尔兹奖首位华人得主。
　　△卡拉比与丘成桐
　　也正是卡拉比猜想的证明，带来了＂超弦理论的基石＂—— 卡拉比-丘流形 。
　　具体而言，丘成桐在证明猜想的过程中，构建出了不带物质的凯勒流形。也就是卡拉比-丘流形（又称卡拉比-丘空间）。
　　△卡拉比-丘流形的3维投影，图源：维基百科
　　1984年，丘成桐接到了物理学家加里·霍洛维茨 （Gary Horowitz） 和安迪·斯特鲁明格（Andy Strominger） 的电话。
　　他们两人都是弦论的支持者。这里所说的弦论指的是＂超弦理论＂，其基本假设包括，所有基本粒子都是由不断振动的弦线组成，时空具有超对称性，并且是十维的。
　　他们告诉丘成桐，他们正在研究三维空间和时间之外，弦论中另外六个维度存在的形式。
　　具体而言，他们需要找到一种具有 超对称性 的流形，并且根据弦理论，这个流形不带任何物质分布，是真空的。
　　丘成桐回复说：
　　这些流形（卡拉比-丘流形）在维数等于6时，确实能满足弦理论的要求。
　　次年，霍洛维茨、斯特鲁明格，以及另外两位物理学家坎德拉斯 （Philip Candelas） 和威滕（Edward Witten） 合作发表了论文《超弦的真空结构》。
　　这篇文章指出， 多出来的六个维度，必须隐藏于卡拉比-丘流形之中 。此六维独立于四维时空的每一个点。
　　更重要的是，如丘成桐本人所说： （弦论）进一步指出卡拉比-丘空间的几何，决定了这个宇宙的性质和物理定律。
　　哪种粒子能够存在，质量是多少，它们如何相互作用，甚至自然界的一些常数，都取决于卡拉比-丘空间。
　　物理学家布莱恩·格林 （Brian Greene） 也说：
　　宇宙的密码，也许就刻在卡拉比-丘空间的几何之中。 最初打算找到卡拉比猜想的反例
　　鲜为人知的是，丘成桐最初了解到卡拉比猜想时，是想证明其所描述的空间 并不存在 。
　　理由很简单：
　　这个猜想不仅指出封闭而具有重力的真空的存在性，还给出系统地大量构造这类空间的途径，大家都认为世间哪有这样便宜的东西可捡！
　　当时，不少几何学家都在质疑卡拉比猜想的，不过还没有人能给出反例。
　　根据猜想定义，一个第一陈类为0的紧致n维凯勒流形上应该有一个里奇平坦的度量。
　　只要找出一个这样的流形上，不存在里奇平坦度量，猜想即可被推翻。
　　丘成桐花了差不多3年时间，来找寻这种反例。
　　1973年，他终于得出了成果，并在出席国际几何会议期间，将此消息告诉了几位朋友。
　　消息一下子传了开来，引发圈内震动，以至于他被要求在当天晚上对自己的成果另作报告。
　　丘成桐回忆，那晚有三十多位几何学家聚在数学大楼的三楼，其中包括卡拉比、陈省身和其他知名学者。
　　他把自己如何构造出这一反例说了一遍，大家似乎都非常满意，卡拉比本人甚至还为这一构造给出了一个解释。
　　陈省身则在大会闭幕时拉着丘成桐说，这个反例或许可被视为整个大会最好的成果。
　　要知道，卡拉比猜想中涉及到的＂陈类＂概念，便是因陈省身而得名。
　　丘成桐描述自己当时的心情：＂既意外，又感到兴奋不已。＂
　　△陈省身与丘成桐
　　但反转却来得很快。
　　仅仅过去两个月后，卡拉比致信丘成桐，希望他能为自己解释反例中一些没有弄清楚的问题。
　　看到这封信，丘成桐马上明白，自己出错了。
　　在他的自述中提到，自此之后两个星期，他不眠不休，希望能重新构造一个反例。
　　身心差不多要垮掉。
　　可是真理总爱捉弄人，每当他似乎找到一个理想中的反例时，总是瞬间有推翻它的理由出现。
　　如此经历数次后，丘成桐选择180度调转研究方向，开始证明卡拉比猜想。
　　终于在1976年，卡拉比-丘空间和世人见面，轰动数学界，并为之后超弦理论的物理应用、＂超弦热＂奠定了数学基础。
　　而顺着这条研究路线，丘成桐之后还进一步论证了 镜像对称 猜想。
　　镜对称是指两个具有不同拓扑的卡拉比-丘空间，看起来甚至没什么共通点，但却拥有相同的物理定律。
　　最初是物理学家菲利普·坎德拉斯等人发现了这一问题，并从物理角度证明镜像对称可用于计算卡拉比-丘空间上有理曲线的数目。
　　丘成桐形容，镜对称是对偶性的一个重要例子。
　　它就像一面窗，让我们窥见卡拉比-丘流形的隐秘。
　　实际上，很多在卡拉比-丘空间上要解决的难题，如果放到镜像上考虑，问题往往迎刃而解。
　　1996年，丘成桐和前文提到的斯特鲁明格，以及埃里克·扎斯洛 （Eric Zaslow） 共同提出SYZ猜想，这是理解镜对称猜想的一次尝试。
　　SYZ猜想提出，六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间，其中之一是三维环面。如果模仿把半径 r 变成 1/r 的操作，把这些三维环面＂翻转＂，并与另一个三维空间结合起来，就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。
　　紧接着1997年，丘成桐和连文豪、刘克峰合作（与Givental同时），用局部化技巧完全证明关于卡拉比-丘空间上有理曲线计数的镜猜想。
　　值得一提的是，其中连文豪是美国布兰迪斯大学教授，于2013年获陈省身奖。
　　刘克峰曾于1998年获得斯隆奖。
　　正是他与丘成桐一起，发起创建了丘成桐数学英才班、创办丘成桐中学数学论文奖和丘成桐大学生数学竞赛。
　　他现任美国加州大学洛杉矶分校数学系教授、浙江大学数学中心执行主任。
　　One More Thing
　　在丘成桐的自传中曾提到，由于卡拉比-丘空间流传甚广，甚至他自己有时都会产生错觉：
　　卡拉比是否也是我的名字？
　　的确，从坎德拉斯等人在30年前将卡拉比-丘连接起来后，这个组合词的意义有时已经超出了数学物理范围。
　　比如伍迪·艾伦2003年在《纽约客》上发表的故事，里面提到一位女士的微笑，＂向上弯成卡拉比-丘的形状＂。
　　对此，丘成桐并不介意＂卡拉比＂是否会被混淆为他的名字。他觉得，很荣幸能和卡拉比一起并称。
　　而另一位主人公卡拉比也曾说道：
　　我很高兴我的名字和丘永远连在一起。
　　参考链接：
　　[1]丘成桐《我们真的活在十维时空里吗？》：https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35401.pdf
　　[2]丘成桐《我的几何人生：丘成桐自传》
　　[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi%E2%80%93Yau_manifold
　　[4]https://www.um.edu.mo/zh-hant/news-and-press-releases/presss-release/detail/18478/
　　— 完 —
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