几何原本与圆有关的直线图形的做法（1）如何只用尺规作图？

　　从这一节开始，我将带着大家学习《几何原本》第4卷＂与圆有关的直线图形的做法＂中的内容，本卷共包含7条定义以及16个命题。
　　在《几何原本》第3卷＂与圆有关的平面几何＂中，欧几里得通过37个命题，对与圆有关的一些几何结论进行了证明。到了第4卷，卷中的16个命题虽然也是在讲与圆有关的命题，不过却与第3卷有很大的不同。第4卷16个命题全部在讲如何只用尺规作图，如在给定圆内作出内接三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正十五边形……
　　对于我们来说，作给定圆的内接正三边形、正四边形、正六边形应该不是很难，不过要作出给定圆的内接以及外接正五边形、正十五边形就不是很容易。从古希腊时代开始，2000多年来，无数数学家曾尝试用尺规作出正十七边形都失败了，据说数学王子高斯只花了一个晚上的时间就给出了用尺规作正十七边形的方法，不过这都是后话了。
　　在《几何原本》其它章节中，我们也会看到一些尺规作图的命题。欧几里得有一个原则:一个图形是否存在的评判标准在于，我们能否用尺规作图的方式画出来，并且给出证明。所以我们会看到在很多命题的证明中，需要画一个正方形、二等分一条线段、作一个角等于已知角……而在证明这些命题之前，欧几里得都会在前面的命题中证明能够作出这些图形。
　　这一讲，我将向大家介绍第四卷的命题1-命题5是如何证明的，同时我也将向大家展示整个的作图过程。命题1-命题5主要讲了如何用尺规作给定三角形的内切圆、作给定三角形的外接圆。在开始这5个命题的讲解之前，我先向大家介绍一下本卷的7条定义。一、7条定义
　　定义1:当一个直线形的各角的顶点分别在另一个直线形的各边上时，这个直线形叫作内接于后一个直线形。
　　定义2:当一个图形的各边分别经过另一个图形各角的顶点时，前一个图形叫作外接于后一个图形。
　　定义3:当一个直线形的各角的顶点都在一个圆周上时，这个直线形叫作内接于圆。
　　定义4:当一个直线形的各边都切于一个圆时，这个直线形叫作外切于这个圆。
　　定义5:类似地，当一个圆在一个图形内，且切于这个图形的每一条边时，称这个圆内切于这个图形。
　　定义6:当一个圆经过一个图形的每个角的顶点时，称这个圆外接于这个图形。
　　定义7:当一条线段的两个端点都在圆周上时，则称这条线段拟合于圆。
　　有了这7条定义，我们就可以学习后面的命题了。二、命题1-命题5
　　命题1:给定线段不大于给定圆的直径，把这条线段拟合于这个圆。
　　已知ABC是给定的圆，D是不大于圆的直径的给定线段。
　　目标:作等于D的线段拟合于圆ABC。
　　证明:
　　1、作圆ABC的直径BC。（第3卷 命题1）
　　2、如果BC等于D，就不必作这条线段了，因为线段BC等于线段D，且拟合于圆ABC。
　　3、如果BC大于D，则使CE等于D。（第1卷 命题3）
　　4、以C为圆心，CE为半径作圆EAF，连接CA。
　　5、因为E是圆EAF的圆心，所以CA=CE。
　　6、又CE=D，所以CA=D，即CA等于给定线段D，且拟合于圆ABC。
　　证明完毕。
　　以上是作图的原理，下面我将作图的整个过程展示出来：
　　整个作图过程
　　步骤1
　　步骤2
　　步骤3
　　步骤4
　　步骤5
　　命题2:在给定的圆内，作一个与给定三角形等角的内接三角形。
　　已知ABC是给定的圆，DEF是给定的三角形。
　　目标:作与三角形DEF等角的内接于圆ABC的三角形。
　　证明:
　　1、过点A作GH与圆ABC相切。
　　2、在直线AH上，以A为顶点作角HAC等于角DEF，在直线AG上，以A为顶点作角GAB等于角DFE，连接BC。（第1卷 命题23）
　　3、因为AH与圆ABC相切于点A，所以角HAC等于对应弓形上的角ABC。（第3卷 命题32 ）
　　4、又角HAC=角DEF，所以角ABC=角DEF。
　　5、同理角ACB=角DFE。
　　6、于是余下的角BAC=角EDF（第1卷 命题32），所以三角形ABC与三角形DEF等角，且内接于圆ABC。
　　证明完毕。
　　以上是作图的原理，下面我将作图的整个过程展示出来：
　　步骤1、步骤2
　　步骤3、步骤4
　　步骤5、步骤6
　　步骤7、步骤8
　　步骤9
　　步骤10、步骤11
　　步骤12
　　步骤13、步骤14
　　命题3:在已知圆外作一个与给定三角形等角的外切三角形。
　　已知ABC是给定圆，DEF是给定三角形。
　　目标:作圆ABC的与三角形DEF等角的外切三角形。
　　证明:
　　1、将EF向两段延长至D和H。
　　2、设圆ABC的圆心是K。（第3卷 命题1）
　　3、在圆ABC内作任意直线KB。
　　4、以直线KB为边，K为顶点，作角BKA等于角DEG，角BKC等于角DFH。（第1卷 命题23）
　　5、分别过A、B和C作直线LAM、MBN和NCL与圆ABC相切。
　　6、因为LM、MN、NL与圆ABC分别相切于A、B和C，连接KA、KB和KC，则A、B和C处的角是直角。（第3卷 命题18）
　　7、因为四边形AMBK可以分为两个三角形，所以四边形AMBK的四个角的和等于四个直角。（第1卷 命题32）
　　8、又角KAM和角KBM是直角，所以余下的两个角AKB和AMB的和等于两个直角。（第1卷 命题13）
　　9、又角DEG+角DEF=两个直角，角AKB=角DEG，所以角AMB=角DEF。
　　10、同理，角LNB=角DFE。
　　11、于是余下的角MLN=角EDF。（第1卷 命题32）
　　12、所以三角形LMN与三角形DEF等角，且它外切于圆ABC。
　　证明完毕。
　　以上是作图的原理，下面我将作图的整个过程展示出来：
　　步骤1、步骤2
　　步骤3、步骤4
　　步骤5、步骤6
　　步骤7、步骤8
　　步骤9
　　步骤10
　　步骤11
　　步骤12
　　步骤13、步骤14
　　步骤15、步骤16
　　步骤17、步骤18
　　步骤19、步骤20
　　步骤21
　　步骤22
　　命题4:作给定三角形的内切圆。
　　已知ABC是给定三角形。
　　目标:作三角形ABC的内切圆。
　　证明:
　　1、分别作角ABC和角ACB的角平分线BD和CD（第1卷 命题9），两线相交于点D。
　　2、过点D作DE、DF和DG分别垂直于AB、BC和CA。（第1卷 命题12）
　　3、因为角ABD=角CBD，直角BED=直角BFD，BD=BD，所以三角形DBE与三角形DBF全等，于是DE=DF。（第1卷 命题26）
　　4、同理DG=DF，于是DE=DF=DG。
　　5、以D为圆心，到E、F或G的距离为半径作圆，会经过另外两点，且与直线AB、BC和AC相切。这是因为E、F和G处的角都是直角。如果圆不与这些直线相切，而与它们相交，则过圆的直径的端点且与直径成直角的直线会落在圆内，这已经证明是不可能的。（第3卷 命题16）
　　6、所以以D为圆心，以DE、DF、DG之一为半径的圆不与AB、BC和CA相交，因此圆FGE与它们相切，且是三角形ABC的内切圆。
　　证明完毕。
　　以上是作图的原理，下面我将作图的整个过程展示出来：
　　步骤1、步骤2
　　步骤3
　　步骤4、步骤5
　　步骤6
　　步骤7、步骤8
　　步骤9、步骤10
　　步骤11、步骤12
　　步骤13
　　步骤14、步骤15
　　步骤16
　　步骤17、步骤18
　　步骤19
　　命题5：作给定三角形的外接圆。
　　已知三角形ABC是给定三角形。
　　目标:作给定三角形ABC的外接圆。
　　证明:
　　1、分别作线段AB和AC的二等分点D和E。（第1卷 命题10）
　　2、分别过D和E作DF和EF与AB、AC成直角。（第1卷 命题11）
　　此时有三种情形，DF与EF要么相交于三角形ABC内，要么在BC上，要么在BC外。
　　情形一:DF与EF相交于三角形ABC内。
　　3、设交点为F，连接FB、FC、FA。
　　4、因为AD=DB，DF=DF，角ADF=角BDF，所以AF=FB。（第1卷 命题4）
　　5、同理，CF=AF，所以FB=FC。
　　6、于是FA=FB=FC，所以以F为圆心，以FA、FB、FC之一为半径作圆，将经过剩下的两点，且该圆外接于三角形ABC。
　　情形二:DF和EF相交于BC上的点F。
　　7、同理，可证明以F为圆心，以FA、FB、FC之一为半径作圆，将经过剩下的两点，且该圆外接于三角形ABC。
　　情形三:DF和EF相交于三角形ABC外，设交点为F。
　　8、连接AF、BF、CF，同理，可证明以F为圆心，以FA、FB、FC之一为半径作圆，将经过剩下的两点，且该圆外接于三角形ABC。
　　证明完毕。
　　以上是作图的原理，下面我将作图的整个过程展示出来：
　　步骤1
　　步骤2
　　步骤3
　　步骤4
　　步骤5
　　好了，这一讲就到这里了。
　　我是 科学发现之历程 ，一个致力于科普数学、物理的科技媒体。想了解更多相关的知识，关注微信公众号科学发现之历程，期待你的到来~