无限深势阱的薛定谔方程怎么解？张朝阳的物理课初探索

　　无限深势阱的薛定谔方程怎么解？1 月 9 日 12 时，《张朝阳的物理课》第十九期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，仔细分析了相速度与群速度的差别，阐明群速度才是传递能量与信息的速度。并利用分离变量法，得到定态薛定谔方程，又以无限深势阱问题为例，具体解出分立的能级和能量本征态波函数。最后引入并赋予傅立叶变换物理意义，再次探讨不确定性原理，一窥量子力学世界。
　　与往期直播逐步推导公式不同，一开场张朝阳直奔主题，在＂直播白板＂上写下薛定谔方程。＂它相当于微观世界的牛顿定律。＂张朝阳说，＂数学家要穷尽所有的可能性，但搞物理的人，会去猜几种特别的情况，所以今天我们来猜猜它的解。＂他同时也提醒网友，＂学习量子力学，需要掌握微积分、线性代数，傅立叶变换等基础知识。＂这些知识也在讲课中尽数用到。利用分离变量法求解 得到定态薛定谔方程
　　张朝阳先是带着网友复习上节课讲到的波的速度的概念，探讨了相速度与群速度。随后，他开始通过分离变量法解薛定谔方程。方程里的波函数既含有对时间 t 的偏导，也有对位置 x 的偏导，采取分离变量法，将时间 t 与位置 x 分开，也就是假设波函数具有如下的形式：
　　代入薛定谔方程中，便可将含有位置 x 的项与含有时间 t 的项，分开到等号两边，即：
　　张朝阳介绍，由于这个式子对任意的位置 x 与时间 t 都成立，所以等号左边（或右边）是一个与位置 x 和时间 t 都无关的常数，我们假设这个常数为 E，则可将原来复杂的二元微分方程分解为两个一元微分方程：
　　＂这就大幅降低了解方程的难度。若再将其化简一下，即可得到定态薛定谔方程。＂张朝阳边写边说。
　　（张朝阳在＂直播白板＂上推导定态薛定谔方程）探索无限深势阱 得到分立的能级
　　为具体展现求解薛定谔方程的完整过程，张朝阳举了无限深势阱的例子。他介绍说，当位置 x 在 0 到 a 之间，势能 U（x）为零，而其它地方势能无穷大，所以波函数在位置 0 到 a 区域之外都为零，而由于波函数又有连续的性质，所以波函数在 x=0 与 x=a 时也为零。于是，当 x 在 0 到 a 之间时，可写出其定态薛定谔方程：
　　对应的边界条件为：
　　这个微分方程是非常经典而容易解的，张朝阳解出这个一元微分方程，便得到能级 E 的表达式：
　　与对应的能量本征态波函数：
　　其中，n 取正整数。
　　（张朝阳在＂直播白板＂上解无限深势阱的能级）
　　＂与经典理论的连续性有很大不同，可以看到能量 E 是分立的。＂张朝阳总结。赋予傅立叶变换物理意义 探讨不确定性原理
　　在随后的直播中，张朝阳还介绍了数学的傅立叶变换与量子力学表象之间的关系。＂动量在量子力学里其实是个算符。＂他在白板上逐步推导：
　　＂这跟量子力学不确定性原理是相符的。＂张朝阳说。
　　＂我们今天介绍了薛定谔方程在一个简单情形下的应用。未来将继续讲解薛定谔方程，求解氢原子问题。＂直播尾声，张朝阳告诉网友，＂下一堂课，将对量子力学做进一步的探讨。＂
　　自 11 月 5 日至今，《张朝阳的物理课》已直播十八期。在第一、二课中，张朝阳科普了＂力＂和＂速度＂，算出飞船和空间站每日绕地飞行圈数；第三、四课和＂振动＂相关，科普可见光的基本知识。第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论。在第七、八、九课重温经典力学的＂两朵乌云＂；第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用；第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界，推导出著名的公式＂E=mc²＂，并论证钟慢尺缩效应。第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变。第十六课开始进入量子力学，讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性，以及薛定谔方程等。
　　从这十多期的物理课可以看出，《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜 —— 通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣，再以公式推导的方式解释其背后的物理原理，＂透过现象看本质＂，进而反过来解决生活中的类似问题。
　　张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理课的受众能保有好奇心，＂在好奇心驱使下，了解自然界的奥秘，了解我们在这个世界生存的道理＂。在后续课程中，他还将继续以这种直播风格解释生活中常见的物理现象，让普通人能够听懂、专业人士也能认可，激发科学学习的热潮。该课程于每周周五、周日 12 时在搜狐视频直播。