拓扑学究竟是一种什么样的学科？

　　作者 | 刘洋洲
　　来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，＂数学英才＂获授权转载，在此感谢！
　　不变
　　拓扑学属于几何学。
　　在欧氏几何中，刚性运动保持内积不变：即平移、旋转、翻折保持长度、角度不变；仿射几何中仿射变换则是保持单比不变；射影几何中射影变换则是保持交比不变……几何学的精神就是研究几何对象在特定变换下的不变性。这就是菲利克斯·克莱因在1872年发表的爱尔兰根纲领中的重要思想。
　　那么沿着这个思路，拓扑学研究的就是——在连续映射下保持不变的性质。上面提及的变换、映射都是连续变换，它们为我们研究各种连续变换提供了丰富的例子。连续变换可以说是几何学中最为一般的变换，它可能不会保持长度，也可能不会保持比例……但是几何对象在任意连续映射下，总有些本质是不变的。
　　连续
　　了解拓扑学，前提是对连续性有一定的了解。对连续性的感性认知，人人生而就有：两个原本很近的点，经过连续映射后，它们的像点也很近。
　　我这里用了＂近＂这个感性的描述，事实上暗示了（拓扑）空间可能存在度量。诚然，度量诱导拓扑是十分自然的事情，足以应对常见的情形，不过数学家并不止步于此，因为＂远近＂的概念还是没有完全摆脱欧氏空间给我们带来的束缚。邻域，则是从最基本的点集出发，为我们提供了＂近＂这一概念更一般性的刻画，于是造就了更具包容性的理论。
　　我们最常见的邻域是度量空间中的开球。邻域，简单来说就是描述一个（拓扑）空间的点是以什么样的方式聚集在一起的。它们被一份一份地打包起来，而连续映射其实是这些＂包裹＂的快递员。快递打包的灵活性，取决于邻域的丰富性。邻域就像是泡泡，两个泡泡并集是一个大的泡泡，两个泡泡交集会产生一个小泡泡。这些泡泡都可以作为快递的包裹。
　　包裹从一个空间快递到另一个空间是不能＂打散＂的，打散则就意味着连续性的破坏。每一个完好无损被邮递过来的包裹，一定原先也是完好无损的，这就是连续性。
　　同胚
　　如果两个空间存在一个连续映射，其逆映射也连续，我们就说两者同胚。同胚就意味着两者的一切拓扑性质都相同：
　　同胚，那么从出发到任意其他的拓扑空间的连续映射，都自然对应一个从到的连续映射；反过来，如果到的有一个连续映射，那么一定有一个从到的映射。按范畴论的思想，这并无本质区别，可以视为同一个对象（设想两个人的人际关系网完全一样，那么这两个人的社会身份是一样的，即人是社会关系的总和）。
　　将一个正方形压扁成一根线段是连续映射，
　　但是这个映射不是同胚映射，显然它不可逆。从图形角度看这个＂压扁映射＂，它之所以不是同胚，是因为它将正方形上的点的邻域降维了。
　　科幻小说《三体》中用二向箔降维打击太阳系
　　虽然正方形和线段不同胚，但是两者同伦。同伦是一个随时间变量变化的连续变形，同伦允许将对象＂压扁＂。事实上，同胚映射要求太高了，哪怕建立同伦也是十分困难的事情。
　　甜甜圈同胚于咖啡杯，因为两者的亏格都是；如果在游泳圈（空心）表面挖去一个圆盘呢？它同胚于何物？上图为我们展示了这个连续变化的过程，其同胚型是两个平环在一个正方形区域粘贴重合。如果求其同伦型，则可以继续压缩变细，最终成为两个圆周的一点并。
　　代数
　　不变量其实是为了分类。
　　同胚（同伦、同调）显然是一个等价关系，彼此不同胚的拓扑空间，它们注定有质的区别。闭曲面分类定理告诉我们，这个区别就在于＂洞＂的个数，称之为亏格。对于低维空间，这都是显而易见的，那如何探讨更高维的不变量呢？
　　与此同时，数学家不再满足＂不变量＂，谁说不变量非得是个数呢？拓扑空间是否可以用其所蕴含的群作为名片？代数和拓扑应运而生。例如由拓扑空间上道路的接续作为乘法而构成的群——基本群，由闭链的形式和所构成的交换群——同调群……这些群的定义不受维数的影响，是研究高维拓扑空间的利器。事实上，拓扑空间各个维数同调群的秩的交错和，恰恰等于欧拉示性数，而后者与亏格有关。回忆黄金多面体的欧拉公式：
　　这是一个交错和的形式。这里的就是球面的欧拉示性数，因为黄金多面体和球面同胚。
　　到目前为止，就连关于高维球面的同伦群（稳定同伦群理论）仍然由许多未解之谜，数学家为此开发了许多代数拓扑工具：同伦论、同调代数、谱序列……
　　微分
　　Morse理论：流形在临界点（红色）决定流形的拓扑结构
　　正如前文所述，一般的拓扑空间可能都不具备度量。但是如果想将分析的工具应用在拓扑学中，我们不得不对拓扑空间的光滑性有一定要求，我们称之为微分拓扑流形。
　　流形上的向量场是切丛的截面。所谓切丛由流形每一点的切空间（切线、切平面……）构成。Hopf-Poincare定理告诉我们，流形上向量场的所有奇点指数，与流形的欧拉示性数有关。而Morse理论则告诉我们，通过流行嵌入到欧氏空间中的高度函数的非退化临界点，可以决定流形生长的细节——在哪里分叉，在哪里闭合，于是其同伦型也就被决定了。仅仅是研究切丛就获得了如此丰富的信息，著名的Gauss-Bonnet-Chern（陈省身）定理更是暗示流形的纤维丛蕴藏着更丰富信息……
　　纽结理论——拓扑学分支，研究圆周在三维空间嵌入的同痕分类。图中为右手三叶结。纽结理论和规范场理论以及弦论有着很深刻的联系，例如杨振宁的Yang-Baxter方程与扭结的Reidemester变换形式相同。
　　数学英才
　　中学生英才计划
　　数学学科官方公众号
　　推送数学微慕课和学习资料