微积分体系几百年前就建立起来了，为什么我们现在学习它仍存在困难？

　　微积分是由牛顿和莱布尼茨创立的高等数学，他们自成体系，各成一家，不谋而合，在世界数学史上堪称奇迹。
　　牛顿先生打开科学大门的那本煌煌巨著一《自然哲学的数学原理》，就是用他自已发现的微积分知识，来诠释自然哲学，或者说力学的。据说，当时的科学界根本就没几人能看懂，若干年后才逐渐被人们所接受，看了科学史我也很遗憾，先生为什么不晚点降生，非要错过诺贝尔奖呢？
　　微积分是工科的灵魂和基础，没有微积分，就无法敲开工业文明的大门，更别谈飞机，导弹，卫星，核武了，可以这么说，没有微积分，万古如长夜，也并非夸张。
　　曾记得，当年学高等数学的时候，整届学生在期末考试中只有几个精英勉强及格的，当然不包括数学盲的我。后来补考也大面积不达标。最后老师为了完成教学任务，也为了学生能顺利毕业，干脆将四十分以上的试卷都打六十分，(那时就是六十分万岁)
　　一门学科的难易主要不是这个学科体系建立时间的长短，而关键是看你对这门学科的兴趣和天赋。
　　然而，对非数学专业的人而言，我认为微积分这门知识，如果能货真价实地考试通过，还算你有点小小天赋。但对于数学专业的人来说，过了微积分这一关，在数学的王国里，你最多算小学毕业，还没有正式进入数学王国的大门。因为前面还无数座高山等待着你去攀登，去征服，比如:线性代数，黎曼几何，费马大定理等等猜想，这其中的一枝一叶，一点一滴，只要你有所创新或有所突破，都会像陶哲轩一样，坐上数学宫殿里的一把交椅，当然，像牛顿、莱布尼茨，阿基米德、高斯，拉马努金、欧拉等这些大神，你我就只有顶礼膜拜了，因为他们是构建数学秩序的拓荒者，是数学王国的开国元帅，是几百年才能出一个的稀有物种或超级天才。
　　我在学习微积分时候没遇到什么难题，但是在学习另外一门数学课遇到问题，虽然当时考试考了满分，但是总感觉没明白，这门课叫做线性代数。大学毕业好多年后，看了一本介绍线性代数的书。这本书把线性代数的由来以及意义捋了一下，看完后才有点明白。
　　因此，如果要弄明白，我认为可以从知识的历史方面着手。一是直接介绍这方面的历史，另一个是相关人物的传记。
　　国内很多高校用的教材上来就是一个新概念，弄得人很突兀，完全不明白为啥要这个玩意。就像走路上，你被人揍了，那个人突然冲出来，把你揍了，那你肯定是懵；如果那个人冲出来说你昨天怎么怎么得罪我了，我要揍你，那你知道为啥挨揍了。也就是说国内教材基本上都没有背景交代的，很多人都会懵；有背景交代，那就明白到底怎么回事。
　　大学学习微积分的时候也不太理解，糊里糊涂地学完了。后来读研究生的时候，出于学习人工智能建模的需要，接触到了形式逻辑、本体论这些东东，才有了种茅塞顿开的感觉。
　　我们学习初等数学的时候，往往会通过具体的例子去理解数学公式。比如，通常我们会把微分理解为把一根棒子无限细分，这种理解在定积分的时候还凑合，到了不定积分就不灵了。实际上，微积分是非常形而上学的东西。它的很多定理和公理都是为了让体系能自洽才建立起来的。比如，微分最初的意义（牛顿提出来的时候）确实是建立在无限细分的思路上的，但是，人们很快就发现无论如何都没法完美解释芝诺悖论（蚂蚁永远走不到棒子的另一头、阿克琉斯永远追不上先走的乌龟什么的）。直到后来，人们把连续当成了公理，蚂蚁能走到棍子的另一头只是因为棍子是连续的，在连续的空间上，比起确定某一点的数值来说，确定趋近某一点的速度更加重要，这种速度是用0/0（导数）来描述的。不过，蚂蚁通不过有断点的地方，这种地方谈不上无限趋近，0/0没有任何意义。
　　简单地说，数学是一整套逻辑自洽的理论，借助生活经验去理解数学是行不通的，象记棋谱那样反复练习数学的逻辑套路，才能学好数学。
　　我谈谈我肤浅的认识。
　　我是2002年大一时学习的高等数学，现在已经过去了快二十年了。
　　高等数学的基础是初等函数。这几个初等函数必须要熟悉掌握。之后，我们从极限的思维出发，引出导数的概念。导数，就是自变量变化趋近于0时，变量和自变量的比值。你可以自己推导一下导数公式，以最为简单的二次函数推一下。通过函数图来理解推导过程，思维中始终要有趋近于0，接近无穷小这个概念。这对于一个高中学生来说，应该不难。这个过程很重要，对于从初等函数往高等数学上走是必不可少的一环。
　　推导出公式后，你对导数的概念就有了一些认识。这时，再慢慢地学习可导、不可导、函数单调性，临界点、斜率、凹凸性这些知识点。之后，将高等数学上的基本导数公式（50多个）逐一背下来，熟悉，辅之以练习，变化求导公式，中值定理、洛必达法则等慢慢你就理解导数了。理解了导数，微分就是顺理成章的事情，很容易就理解了。这时，高等数学你已经入门，很快进入不定积分的学习。不定积分就是把层数反一下，也需要记忆一些公式。学完不定积分，就开始就定积分。定积分刚开始时很难，不好理解，如果学不通可以暂时不用去管。学习牛顿-莱布尼兹公式后，你就会知道，定积分就是不定积分加一个上下限，先求出不定积分，再用上限减下限就是定积分了。这时，你需要深刻了解定积分的含义，定积分的实际应用，特别是对于不规则图形面积的计算作用。定积分学好后，高等数学进入另一个难点，即二重积分，微分方程、曲面积分、二次曲面积分等。对于不是物理、电子、信息、通讯、数学类专业的学生来说，不一定深入掌握。
　　牛顿 建立 时，是依据于 物理直觉，为解决 实际的 物理 计算 问题 而产生的，什么是 无穷小，没有明确定义，严密化 的 过程，由 柯西 100 多年 以后 完成。
　　现在 大学 教材，是按 严密化 以后 的 顺序来讲，没有 经过 先提出 具体 计算问题，再思考解决的 过程来 学习。 所以 不符合 人思维的 过程。
　　类似于 人学习 语言，可以 自然 状态下，到这么语言的母语环境下，不断地 接触 这门语言叙述者，从听到说，慢慢掌握这么语言，一旦掌握，水平都非常高。在学习过程中，是先听说，后读写，边应用，边学习。
　　学校教一门外语时，是 先教音标，教每一个发音 舌头如何动，再教语法规则，再反复背单词表，练句型。教的 过程 是 先书面语，后发音，先教语法，后边套用句型。而在自然状态下，是在无意识中 学习到 语法 规则的。
　　是通过 重复练习，通过规则来学习，难以摆脱母语的影响，很难真正掌握。
　　而 现在微积分 课本 编排，以及教学方式，就是书面学外语的方式，不是从应用中 学习的方式，并和人 自然的思维 认识世界的过程 不一样。
　　类似于人，学习母语，从未感觉困难，无意识掌握到很高的高度，学外语，反复练习，觉得无趣，掌握应该程度 都不高。
　　但是，
　　按我们的文化基因以及思维习惯，绝对不可能发明以微积分为代表的高等数学，绝对！
　　所以，中国人要学习微积分也特别感觉别扭，难度可想而知。
　　神一般的人创立的微积分要普通人去学，能不难么？实际上，微积分从诞生的那天起，就一直是殿堂级的存在，从来没有下沉到基础教育中来。中国文革后，曾在中学阶段引入过微积分初步，但效果不佳。估计再过几百年，微积分仍然不会为普罗大众所掌握。
　　其实，这种现象不独是微积分存在。黎曼几何和罗巴切夫斯基几何发现也有几百年了，现在能理解的又有多少人呢？还有相对论，量子力学等等，多了去了。术业有专攻，普通老百姓能过好太平日子就行了。学海无涯，不必想得太多。
　　主要是课本上的理论不够形象和通俗易懂，可以看买些高数科普书籍看一下。
　　微积分体系有一个很形象的比喻，来说明和理解它。有一个二维的物件，我们将它们切成很细很细的细条条，这叫微分。我们将这些细条条碎片，再一块一块还原成原来物件的形状，这叫积分。简单吧？
　　微积分的概念和理论其实很简单，只不过有些人故意让它变得晦涩难懂