张朝阳的物理课介绍薛定谔方程的格林函数

　　描述量子力学的薛定谔方程为何是一个偏微分方程？自由粒子波函数最一般的形式是什么？一个被紧紧束缚的微观粒子如何随时间逐渐演化？
　　3月10日12时，《张朝阳的物理课》第128期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从偏微分方程的角度回顾量子力学薛定谔方程，发现它与热传导方程和扩散方程形式上是一致的，但是细节上在方程中引入了虚数，实现了对微观世界的恰当描述。引入虚数后，已经讨论的偏微分方程技巧依然使用，但有些需要重新证明。通过将积分对应到复平面上的行进轨迹，再转化为几何问题，张朝阳巧妙地计算了虚参数的高斯积分，并用它研究了初始时被紧束缚在一点的粒子，发现它将在瞬间均匀地弥散到整个空间。
　　从偏微分方程的角度重新看薛定谔方程
　　在最近几个月的课程中，张朝阳一直在和偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）打交道。因为他最近关注的物理对象都有一个特点：既随着时间流逝演化，同时也随着空间延展起伏变化，比如之前研究的流体速度ƒv(t,x)，物体温度T(t,x)等等,它们都是至少两个自变量的函数，称之为场。而同时描述超过两个自变量的时候，物理方程中的求导要改写成：
　　右边的符号一般称为偏导数或者偏微分（Partial Derivative），所以相应的方程就称之为偏微分方程。
　　为了说明单变量和多变量的区别，张朝阳首先简单回顾了单个质点的牛顿力学。在研究经典的牛顿力学时，我们只需要一个物理变量——时间。尽管在很多问题中大家会关心粒子运动的轨迹r(θ)，但张朝阳提醒大家注意，它们最终都只是时间的函数r(t)，θ(t)，所以本质上还是只有一个自变量的问题。利用上面左侧的符号，牛顿定理写为：
　　但到了要刻画分布在不同位置上大量原子分子集合的物理性质时，多变量、场和偏微分方程的思想就有了用武之地。在这次直播课上，张朝阳想再一次回归量子力学——但是是以另一角度，从数学的角度、偏微分方程的角度来重新看一看量子力学的薛定谔方程。在出发之前，张朝阳想先问一个问题，薛定谔方程描述单个粒子的运动，为何却要我们关注偏微分方程？答案是：在量子的世界中，每个时间点上微观粒子的位置都是不确定的，只能用出现在某个空间点上的概率来描述它的状态。就像氢原子外面的电子，只能知道它像云一样分布在原子核的周围，根本不知道它在哪个具体的位置，这也是波粒二象性的一种体现。所以量子力学中，一个粒子状态就只能表达成既与时间也与空间相关的波函数ψ(t,x)，在某个位置出现的概率密度是波函数的模方：
　　波函数满足的薛定谔方程：
　　就是一个偏微分方程，它描述的是一个质量为m的粒子的量子行为。如果粒子在不受力地自由运动，就有V(x)=0，所有方程又改写成：
　　形式上，它非常像最近直播课上研究过的热传导方程：
　　但张朝阳提醒大家注意，薛定谔方程左边的常系数是个虚数i ℏ，而右边的常系数是个负实数——区别于α>0，这是薛定谔方程能描述量子世界的魔法所在。但是前面课程中用过的处理微分方程的技术都是可以用在处理薛定谔方程上的，张朝阳调侃这一点就像是＂用PDE的猎枪，到量子力学的森林中打点猎＂。
　　利用偏微分方程＂三板斧＂处理薛定谔方程
　　偏微分方程＂三板斧＂的＂第一板斧＂是用分离变量法化简方程。运用分离变量法的关键在于尝试去找到这样一个特解：
　　它是两个单变量函数的乘积。代入到原方程中得到：
　　其中λ是个常数。解第一个方程：
　　得到：
　　张朝阳提醒，引入虚数带来的区别就体现在这里了。在解热传导方程的时候，对应方程的解是一个衰减的指数函数：
　　但在解薛定谔方程的过程中，它变成了一个振荡的函数。至于为何引入虚数？为何是薛定谔方程在主导量子世界？张朝阳的评述是，这个问题理应由来实验回答，物理规律的数学形式经过了长时间的、反复的实验验证，并且能够给出预言，那么我们就应该相信和去理解这个形式。分离变量后第二个方程变成：
　　在之前的课程中，张朝阳已经证明过这个方程有如下形式的解：
　　这里指数上的常数满足：
　　而回忆一下量子力学，动量一般表达成：
　　所以常数λ的物理意义就是自由粒子的动能，这个与经典牛顿力学的结论是一致的。从另一个角度看，量子力学里的能量算符是：
　　从而可以看出来，λ即是能量算符的本征值，与上面的讨论结果也是一致的。从以上讨论中，我们得到了方程的一个特解：
　　把对应不同常数k的特解组合起来，就能得到我们方程最一般的解的形式：
　　ck是一组组合系数，将会由我们的＂第二板斧＂——即初始条件给出。偏微分方程的初始条件是指给定t = 0时函数的空间分布：
　　在我们得到的一般解中取t = 0，就能得到：
　　显然它是在对函数f(x)做傅里叶变换，ck就是对应的变换系数。做一次傅里叶逆变换，即：
　　也就是说：
　　将它代回一般解中，就能得到：
　　和处理热传导方程时一样，第二个积分被简写成一个函数Φ(t,x-y)，称之为格林函数（Green＂s function）。在量子力学中，它又被称为传播子（Propagator）。传播子描述了某一小块区域的演化过程。可以想象这样一个过程：一开始时点处有一个δ函数型的波包，振幅是f(y)。经过时间t后，这个小波包就演化成新的波包Φ(t,x-y)。如果开始时在空间上每一点处都有一个小波包，它们彼此会独立演化，然后相互叠加形成最后总的波函数。这也是解偏微分方程一般的、被广泛使用的方法。这样，我们就得到了薛定谔方程最一般的解的数学表达式。
　　（张朝阳推导自由粒子波函数最一般的形式）
　　一个狄拉克δ波包的自由演化
　　为了更具体地理解利用PDE＂三板斧＂得到的结果，张朝阳在直播中举了一个δ波包演化的例子。δ波包可以看成是初始时刻被约束到了原点的一个小粒子，首先我们要求出它的变换系数。利用：
　　不难看出：
　　代入前述的一般解中，可以得到在任意时刻、任意空间点上，粒子波函数的振幅是：
　　积分中的指数是一个关于k的二次多项式，所以一般可以对它进行配分，转化成高斯积分来计算：
　　平移一下积分变量，得到：
　　这个时候可以看到积分部分就是一个高斯积分的形式，于是有：
　　对应地，还可以求出经过时间t后，仪器在某点x上找到这个粒子的概率密度：
　　值得一提的是，这个概率只和时间t成反比，却和空间位置x无关。换句话说，虽然随着时间流逝，我们在某一点上找到这个粒子的概率会越来越小，但是在同一时刻，我们在整个空间上任意一点发现这个粒子的可能性是相等的。
　　（张朝阳推导狄拉克波包的演化）
　　在推导波函数的过程中，我们用到了高斯积分的结果：
　　值得注意的是，在解决热传导或者扩散方程的时候，常数a是实数，这个结果是已经被证明过的。但是在解薛定谔方程的时候，a取了虚数。张朝阳指出，此时同样的结论应该要有一个新的证明。首先可以记：
　　注意这里为了明确，已经显式地把虚数单位写在指数上。对它平方然后变换到极坐标下，可以得到：
　　整个式子是角度无关的，所以可以先把角度部分积分，得到：
　　再进行一次换元t = ar²，可以得到：
　　剩下的积分部分已经在电磁学部分的直播课计算过。使用费曼提出的图形法推导，首先注意到积分可以被近似看成一个求和：
　　其中求和的每一项都对应复平面上一个模长为Δθ的向量。我们可以这样理解上式的求和：想象一个人在不断迈步前进，而且每迈出一步都会转身同样的角度，结果这个人会在某个圆上不断绕圈走动，如下图中红色箭头所示：
　　但是，对于一个实际的物理过程，这种实际的＂绕圈＂会导致发散的结果，因此是不真实的。对于实际的物理过程，当求和项中的n越来越大时，相应的求和项的模会因为一些特殊的物理原因而变得越来越小，这就相当于前进的步伐越来越小。最终结果就是，在一边绕圈时，一边往内环收缩，最终走到圆心的位置（如上图蓝色轨迹所示）。
　　于是可以知道，上述积分值等于圆心所对应的复数值。由于这个人迈出第一步的方向与x轴夹角为0，所以这个圆是与x轴相切的，因此圆心在虚轴的负半轴上。现在就只剩下求圆的半径。如果使用线段来表示这个人的步伐，那么当这个人恰好能走回原点时，这些线段近似构成一个等边多边形，每条边的长度为Δl = Δθ。因为这个人每走一步就逆时针转Δθ角度，因此根据等边多边形的几何知识，可以知道每条线段对应的圆心角为Δθ。根据弧长微元公式RΔθ = Δl = Δθ即可知道圆的半径R=1。所以圆心对应的复数为-i。代回上面的计算，可以证明：
　　与我们所期待的是一致的。
　　（张朝阳推导虚指数的高斯积分）
　　据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频＂关注流＂中搜索＂张朝阳＂，观看直播及往期完整视频回放；关注＂张朝阳的物理课＂账号，查看课程中的＂知识点＂短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的＂搜狐科技＂账号上，阅览每期物理课程的详细文章。